Электронный научный журнал

Информационно-коммуникационные технологии
в педагогическом образовании

12+

НЕСКОЛЬКО СПОСОБОВ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

Автор: К. Б. Милюхина
Раздел: Материалы I Международной очно-заочной научно-практической конференции по математике, физике, информатике, робототехнике, технологии, астрономии учащихся 5-11 классов

УДК 372.851

К. Б. Милюхина

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Лесоперевалочная СОШ № 2, с. Бельтирское, Аскизский район

НЕСКОЛЬКО СПОСОБОВ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

Аннотация. Тема, затронутая в статье, показывает, что изучение квадратных корней, не прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни случаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечении квадратного корня. Изучив способы извлечения квадратного корня, был создан проект «Несколько способов извлечений квадратных корней».

1-й способ: Способ разложения на простые множители [1]

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения (табл.).

 Ученики применяют этот способ успешно и считают единственным. Извлечение корня разложением на множители – трудоёмкая задача, которая не всегда приводит к желаемому результату. Попробуем извлечь квадратный корень из числа 206116. Разложение на простые множители дает произведение 2∙2∙51529. А как быть дальше? В ответе записывают остаток от разложения под знак корня. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь. Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения квадратного корня.

2-й способ: Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел [1]

Способ очень прост в применении и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100 с точностью до десятых.

Найдём значение .

Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице квадратов и находим близкие для 73, таких два числа 7225 и 7396 (7396-это много). Рассматриваем число 7225.

Левый столбик таблицы квадратов даёт ответ 8 (целых), а верхняя строка 5 (десятых). Значит .

Быстро, просто, доступно на экзамене. Корни большие 100 этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

3-й способ: Формула Древнего Вавилона [4]

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня из числа Х.

Число Х они представляли в виде суммы ближайший к числу Х точный квадрат натурального числа a и пользовались формулой (1).

     (1)

Извлечём с помощью этой древней формулы корень квадратный из числа 68:

Результат извлечения корня из 68 с помощью МК равен 8,246211.

Из числа 94:

Результат извлечения корня из 94 с помощью МК равен 9,695359.

Как видим, способ вавилонян даёт хорошее приближение к точному значению корня. Но без знания полных квадратов больших чисел и умения их быстро находить, результат извлечения будет найти затруднительно.

Этот способ являются самым простым и доступным для учащихся школ.

4-й способ: С помощью уравнения [2]

Существует удобный способ нахождения квадратного корня с помощью решения уравнения. В чем его суть рассмотрим на примере и попробуем вычислить значение корня из числа 37.Сначала определим границы искомого корня в целых числах. Легко догадаться, что это числа .

Пусть х – это та разница, на которую отличны друг от друга ,

 значит . Возведем в квадрат обе части полученного уравнения  и раскроем скобки при помощи формулы квадрата суммы:

37 = (6 + х= 36 + 12х + х².

Так как мы рассчитываем получить результат с точностью до десятых или до сотых, а х² явно достаточно малая дробь, то ей вполне можно пренебречь.

 В результате приходим к простому линейному уравнению 37 = 36 + 12х.

 Решив его, получаем значение: х = 0,08. Значит .

Но и этот способ требует терпения и умения решать уравнения с использованием формул сокращённого умножения.

5-й способ: Канадский метод [5]

Канадский метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух-трёх знаков после запятой. Применяли формулу:

        (2)

  где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Например: извлечь квадратный корень из 86

  .

Метод несложный и удобный.

6-й способ: Способ вычетов нечётного числа [3]

Способ вычетов нечётного числа заключается в том, чтобы из подкоренного выражения последовательно вычитать нечётные числа 1, 3, 5, 7 и т. д. пока разность не станет равной 0, а затем подсчитать количество вычитаний. Это и будет ответ.

Например: извлечь квадратный корень из 81.

Решение: 81-1=80-3=77-5=72-7=65-9=56-11=45-13=32-15=17-17=0, количество вычитаний = 9, поэтому .

Например: извлечь квадратный корень из 225.

Решение: 225-1=224-3=221-5=216-7=209-9=200-11=189-13=176-15=161-17=144-19=125-21=104-23=81-25=56-27=29-29=0,

количество вычитаний = 15, поэтому .

Российские учёные называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности. Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

7-й способ: Способ отбрасывания полного квадрата (для четырёхзначных чисел) [3].

Этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.

1) Извлечение корней до числа

 Например: .

Число 1296 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 196, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (11) прибавляем всегда 25. Получим ответ 36.

Так можно извлекать только квадратные корни до числа

2) Извлечение корней после числа

Например: .

Число 6084 представим в виде суммы 5600 и выделенного квадрата 484. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 484, равный 22.

Получим ответ 78.

Этот способ очень интересен и оригинален.

Применим только для четырёхзначных чисел точных квадратов.

Список литературы

  1. Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений [Текст]. / А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина. – 2012.
  2. Пичугин, Л. Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7–9 классов средней школы [Текст]. / Л. Ф. Пичугин. – М.: Просвещение. – 1990.
  3. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», 1998. – № 6.
  4. Теорема [Электронный ресурс]. // Википедия: свободная энциклопедия. – Режим доступа : http://ru.wikipedia.ord/wiki/Теорема
  5. Открытый урок [Электронный ресурс]. // Первое сентября. – Режим доступа : http://festival.1september.ru/

Научный руководитель: учитель математики
Сердюк С. А.

Оставить комментарий







Авторизация
E-mail

Пароль  


Регистрация